题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,椭圆的一个顶点为
,右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过作两条互相垂直的直线
,且
交椭圆
于
、
两点,
交椭圆
于
、
两点,求四边形
的面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由题意布列关于a,b的方程组,解之即可;
(2)讨论直线的斜率,联立方程利用韦达定理表示弦长,进而得到四边形的面积,借助对勾函数的图像与性质即可得到结果.
(1)依题意,设椭圆的方程为:
则,
设,由右焦点
到直线
的距离为
,可得
,
解得或
(舍去).
所以,.
故椭圆的方程为:
.
(2)①当直线的斜率不存在时,此时
的斜率为0,此时
,
,则四边形
的面积
.
②当直线的斜率为0,此时
的斜率不存在,同理可得四边形
的面积
.
③当直线的斜率
存在,且斜率
时,
,则
,将直线的方程代入椭圆方程
中,并化简整理得
,
可知,
设、
,则有
则
同理可得
则的面积
.
令,则
,
令,则有
,则
.
综上,.
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