题目内容
【题目】一个函数
，如果对任意一个三角形，只要它的三边长
、
、
都在的定义域内，就有
、
、
也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.
（1）若
是定义在
上的周期函数，且值域为
，证明：不是保三角形函数；
（2）若
是保三角形函数，求
的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（l）设
为函数
的一个周期.因为其值域为
，所以，存在
，使得
，
.
取正整数
，可知
、
、这三个数可作为一个三角形的三边长.但，
，不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数.
（2）
的最大值为.
一方面，若
，下证：
不是保三角形函数.
取
、、
.显然这三个数可作为一个三角形的三边长.但
、
、不能作为任何一个三角形的三边长.故不是保三角形函数.
另一方面，证明：当
时，是保三角形函数.
对任意三角形的三边
、
、
，若、、
，则分两种情况讨论：
（i）
.此时，
.
同理，
，
.
所以，、、
.
故
、
、
.
因此、、
可作为某三角形的三边长.
（ii）
.此时，
，则
或
.
若，由于
，则
.
因为
在
单调递增，所以，
.
若，则
.
同样可得
.
总之，.
又由
及余弦函数在
上单调递减得
.
故
.
同理，
，
.
因此，、、也是某三角形的三边长.
综上所述，当时，是保三角形函数.
故的最大值为.
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