题目内容
【题目】魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，提出利用“牟合方盖”解决球体体积，“牟合方盖”由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，正视图和侧视图都是圆，每一个水平截面都是正方形，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．二百多年后，南北朝时期数学家祖暅在前人研究的基础上提出了《祖暅原理》：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．如图有一牟合方盖，其正视图与侧视图都是半径为
的圆，正边形
是为体现其直观性所作的辅助线，根据祖暅原理，该牟合方盖体积为__________．
【答案】
【解析】
取立方体与内切的牟合方盖的
来做研究，由祖暅原理可知，与立方体同底等高正四棱锥体积与方盖差(立方体之内牟合方盖之外部)的体积相等，即可求出牟合方盖体积.
取立方体与内切的牟合方盖的来做研究，设在高为
处的一个平面截两个立体，截面如图阴影部分所示，
与该立方体等底等高的四棱锥的截面是正方形，其面积是
，
方盖差(立方体之内牟合方盖之外部)上的截面是拐尺形，其面积计算如下：
在
中，
，
，
所以图中阴影的拐形面积
，显然等于正四棱锥截面面积，
从而由祖暅原理可知，正四棱锥体积与方盖差的体积相等，
所以方盖差的体积为
，
从而可得牟合方盖体积为
.
故答案为：
练习册系列答案
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【题目】某工厂的
,
,
三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:
车间 |
|
|
|
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.
