题目内容
【题目】(2017·成都一诊)已知椭圆
的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)若直线l1的倾斜角为
，求△ABM的面积S的值；
(2)过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析:(1)根据点斜式求得直线l1的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理解得|y1－y2| ，最后根据三角形面积公式S△ABM＝
·|FM|·|y1－y2|得 结果(2)由三点共线，利用两点斜率公式得y2(3－x1)=2(－y1)，代入直线方程化简得k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]=0，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得等式成立，即证得结果
试题解析：解：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵直线l1的倾斜角为
，∴k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1，即x＝y＋1.
代入椭圆方程消去x，可得9y2＋8y－16＝0.
∴y1＋y2＝－
，y1y2＝－
.
∴S△ABM＝
·|FM|·|y1－y2|＝
＝
＝
.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程消去y，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，
则x1＋x2＝
，x1x2＝
.
∵直线BN⊥l于点N，∴N(5，y2)．
∴kAM＝
，kMN＝
.
而y2(3－x1)－2(－y1)
＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)
＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]
＝－k
＝0，
∴kAM＝kMN，故A，M，N三点共线．
练习册系列答案
相关题目
