题目内容
【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点,证明A1、C1、F、E四点共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小.
【答案】
【解析】试题分析:由中位线的性质和长方体的性质可得,平行的两直线必定共面,所以可以证明
,
,
四点共面;建立空间直角坐标系,写出
上两相交向量及
的坐标,设平面
的法向量的坐标,根据法向量与平面内任意向量的内积为
求出法向量,从而可以求出法向量与
的余弦值,该余弦值的绝对值即为
与平面
所成角的正弦值。
解析:连接AC,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF是△ABC的中位线,所以EF∥AC.由长方体的性质知AC∥A1C1,
所以EF∥A1C1,
所以A1、C1、F、E四点共面.
以D为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,易求得
,
设平面A1C1EF的法向量为
则,所以
,即
,
z=1,得x=1,y=1,所以,
所以=
,
所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin.
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练习册系列答案
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天的灯泡是优等品,寿命小于
天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) | 频数 | 频率 |
合计 |
(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出,
的值.
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了个,求
个灯泡中恰有一个是优等品的概率.
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用,若以上述频率作为概率,用
表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求
的分布列和数学期望.