题目内容
【题目】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn , 且S2=6,S4=30,n∈N* , 数列{bn}满足bnbn+1=an , b1=1
(1)求an , bn;
(2)求数列{bn}的前n项和为Tn .
【答案】
(1)解:设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
由题意可得a1+a1q=6,a1+a1q+a1q2+a1q3=30,
解得a1=q=2(负的舍去),
可得an=a1qn﹣1=2n;
由bnbn+1=an=2n,b1=1,
可得b2=2,
即有bn+1bn+2=an=2n+1,
可得 =2,
可得数列{bn}中奇数项,偶数项均为公比为2的等比数列,
即有bn= ;
(2)解:当n为偶数时,前n项和为Tn=(1+2+..+ )+(2+4+..+
)
= +
=3(
)n﹣3;
当n为奇数时,前n项和为Tn=Tn﹣1+
=3( )n﹣1﹣3+
=(
)n+3﹣3.
综上可得,Tn=
【解析】(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比均为2,可得an=a1qn﹣1=2n;再由n换为n+1,可得数列{bn}中奇数项,偶数项均为公比为2的等比数列,运用等比数列的通项公式,即可得到所求bn;(2)讨论n为奇数和偶数,运用分组求和和等比数列的求和公式,化简整理即可得到所求和.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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