题目内容
【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,上顶点为
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,
是线段
的中点.若经过点
的直线
与直线
垂直于点
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由题意可知.
,由
,可求得椭圆方程。(2)分
和
讨论,当
时,因为两直线互相垂直,所以直线
的方程为
,
即点
到直线
的距离,
即点
到直线
的距离,用点到直线的距离公式计算,结合韦达定理,把长度表示为k的形式,所以
表示为k的函数,即可求范围。
试题解析:(1)由已知,有.
又,∴
.
∵,∴
.
∴椭圆的方程为
.
(2)①当时,点
即为坐标原点
,点
即为点
,则
,
.
∴.
②当时,直线
的方程为
.
则直线的方程为
,即
.
设,
.
联立方程,消去
,得
.
此时.
∴,
.∴
.
∵即点
到直线
的距离,
∴
.
又即点
到直线
的距离,∴
.
∴.
令,则
.
∴
.
即时,有
.
综上,可知的取值范围为
.
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