题目内容
【题目】已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.
(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为,求点M的坐标
;
(2)设P为C对称轴上的一点,在C上是否存在点,使得C在该点的法线通过点P.若有,求出这些点,以及C在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
【答案】(1);(2)当
时,在
上有三点
,
及
,在该点的法线通过点
,法线方程分别为
,
,
,当
时,在
上有一点
,在该点的法线通过点
,法线方程为
.
【解析】
试题分析:(1)求导可得点处切线的斜率
法线斜率为
=
点
的坐标为
;(2)设
为
上一点,由
上点
处的切线斜率
,
法线方程为
法线过点
;若
的法线方程为:
.再讨论
和
,即可求得:当
时,有三点和三条法线;当
时,有一点和一条法线.
试题解析:(1)函数的导数
,点
处切线的斜率
过点
的法线斜率为
=
,解得
,
。故点
的坐标为
。
(2)设为
上一点,
若,则
上点
处的切线斜率
,过点
的法线方程为
, 法线过点
;
若,则过点
的法线方程为:
。
若法线过点,则
,即
。
若,则
,从而
,
代入得,
。
若,与
矛盾,若
,则无解。
综上,当时,在
上有三点
,
及
,在该点的法线通过点
,法线方程分别为
,
,
。
当时,在
上有一点
,在该点的法线通过点
,法线方程为
。
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