题目内容
【题目】已知椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为坐标原点,
为椭圆
上的三个动点,若四边形
为平行四边形,判断
的面积是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
的面积为定值
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由已知,椭圆的标准方程为
,则离心率
;(Ⅱ)由已知,
的面积等于
的面积,分情况:若
是椭圆的右顶点,
的面积
;若
不是椭圆的左、右顶点,可设
,
,则由四边形
为平行四边形,得
,即
,联立方程由韦达定理知
,又
到
的距离
,所以
的面积
.
试题解析:(Ⅰ)椭圆的标准方程为:
所以。
所以椭圆的离心率
。
(Ⅱ)①若是椭圆的右顶点(左顶点一样),此时
垂直平方
。
所以。
所以的面积
。
②若不是椭圆的左、右顶点,设
,
,
由得
,
,
。
因为四边形为平行四边形,
所以。
所以,
代入椭圆方程,化简得。
因为
。
点到
的距离
。
所以的面积
。
综上,的面积为定值
。
因为的面积等于
的面积,
所以的面积为定值
。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目