题目内容
已知点P是椭圆上的动点,、为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
A
解:如图,延长PF2,F1M,交与N点,∵PM是∠F1PF2平分线,且F1M⊥MP,
∴|PN|=|PF1|,M为F1F2中点,
连接OM,∵O为F1F2中点,M为F1F2中点
∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||
∵在椭圆中,设P点坐标为(x0,y0)
则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a﹣ex0,
∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0+a﹣ex0|=|2ex0|=|x0|
∵P点在椭圆上,
∴|x0|∈(0,a],
又∵当|x0|=a时,F1M⊥MP不成立,∴|x0|∈(0,a)
∴|OM|∈(0,c).
故选A.
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