题目内容

13.求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}-x+2}$的值域.

分析 可将原函数整理成关于x的方程的形式:(y-1)x2+(2-y)x+2y-3=0,方程有解,可讨论y=1和y≠1:y=1时,容易判断出满足方程有解;而y≠1时,方程为一元二次方程,方程有解,便有△≥0,这样解不等式即可得出原函数的值域.

解答 解:由原函数得:yx2-yx+2y=x2-2x+3,整理得:
(y-1)x2+(2-y)x+2y-3=0,看成关于x的方程,方程有解;
①若y=1,则x-1=0,满足方程有解;
②若y≠1,则△=(2-y)2-4(y-1)(2y-3)≥0;
解得$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}≤y≤\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$;
∴原函数的值域为:[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7},\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$].

点评 考查函数值域的概念,形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数的值域求法:整理成关于x的方程,根据方程有解求,一元二次方程有解时判别式△的取值情况.

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