Question

8．求函数值域．
（1）f（x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$；
（2）f（x）=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可设y=f（x），从而有y=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$，两边平方便可得到${y}^{2}=4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$，这样可求出y²的范围，再开方便可得出y的范围，即得出原函数的值域；
（2）求导数，并可得到f′（x）＜0，这便说明f（x）在[-3，1]上单调递减，从而f（1）≤f（x）≤f（-3），这样即可得出原函数的值域．

解答 解：（1）设y=f（x），y=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$，两边平方得：
${y}^{2}=4+2\sqrt{（1-x）（x+3）}$=$4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$；
0≤-（x+1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{-（x+1）^{2}+4}≤2$；
∴4≤y²≤8，y＞0；
∴$2≤y≤2\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为：$[2，2\sqrt{2}]$；
（2）$f′（x）=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}＜0$；
∴函数f（x）在[-3，1]上单调递减；
∴f（1）≤f（x）≤f（-3）；
即-2≤f（x）≤2；
∴原函数的值域为：[-2，2]．

点评 考查函数值域的概念，要求y的范围，先求y²的范围的方法，配方法求二次函数的值域，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数的值域．