题目内容
【题目】已知抛物线的标准方程为
,
为抛物线
上一动点,
(
)为其对称轴上一点,直线
与抛物线
的另一个交点为
.当
为抛物线
的焦点且直线
与其对称轴垂直时,
的面积为18.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)记,若
值与
点位置无关,则称此时的点
为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的标准方程为
;(2)
时,
与
无关.
【解析】试题分析:(1)由已知为通径,因此
,由
可求得
;(2)定点问题处理,设
,设直线
的方程为
,代入抛物线方程,由韦达定理得
,计算
,按
和
分类后讨论可得
取特定值时
与
无关,即
为稳定点.
试题解析:(1)由题意, ,∴
,
抛物线的标准方程为
(2)设,
设直线的方程为
,联立
得
,
∴,
,
由对称性,不妨设,
①时,∵
,∴
同号,
又,
∴,
不论取何值,
均与
有关,即
,
不是“稳定点”;
②时,∵
,∴
异号.
又,
∴,
∴仅当,即
时,
与
无关,稳定点为
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