题目内容
【题目】已知点
和直线
，
为曲线
上一点，
为点到直线的距离且满足
.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点
作曲线的两条动弦
，若直线斜率之积为
，试问直线
是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）设点
为曲线
上任一点，由
列方程整理即可。
（2）先判断直线
斜率存在，设直线的方程为
，设
，联立直线与椭圆方程，表示出
，
，由直线
斜率之积为
得到
，化简得到
，求得
，问题得解。
（1）设点为曲线上任一点，
则依题意得：
，
化简得：
曲线的轨迹方程为：.
（2）一定经过一定点.
设
，当直线的斜率不存在时，设的方程为
，
则：
，
，不合题意.
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，并代入椭圆方程，
整理得：
，①
由
得：
.②
设，则
是方程①的两根，由根与系数的关系得：
，
，
由
得：，
即
，
整理得：
又因为
，所以，
此时直线的方程为
.
所以直线恒过一定点
.
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