题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，侧面
为菱形，
，平面
平面.
（1）求直线
与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）证明出
平面
，然后以点
为坐标原点，分别以
，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系
，设正方形
的边长为
，利用空间向量法可计算出直线
与平面所成角的正弦值；
（2）计算出平面
的一个法向量
，以及平面
的一个法向量
，利用空间向量法可计算出二面角
的余弦值.
（1）因为四边形为正方形，所以
，
因为平面
平面，平面
平面
，
平面，所以平面.
以点为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设正方形的边长为，则
，
.
在菱形中，因为
，所以
，所以
.
因为平面的法向量为
，
设直线与平面所成角为
，则
，
，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知，
，所以
.
设平面的一个法向量为
，
因为
即
取
，
，
，即
.
设平面的一个法向量为
，因为
，
，
因为
，所以
，取
.
设二面角的平面角为
，
则
，
所以二面角的余弦值为.
练习册系列答案
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W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.
(I)求Z的分布列和均值；
(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.
