题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）的左焦点为
，
是上一点，且
与
轴垂直，
，
分别为椭圆的右顶点和上顶点，且
，且
的面积是
，其中
是坐标原点.
（1）求椭圆的方程.
（2）若过点的直线
，
互相垂直，且分别与椭圆交于点
，
，
，
四点，求四边形
的面积的最小值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）依题意可设
，则有
，解出即可；
（2）分类讨论，当
，
时，
；
当
，
斜率存在时，设：
，：
，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出
，
，再根据面积公式
以及基本不等式即可求出答案．
解：（1）依题意画出下图可设，
，
，
则有：，解得
，
∴椭圆
的标准方程为；
（2）①当，时，；
②当，斜率存在时，设：，：，分别联立椭圆方程，
联立
得
，
∴
，
，
∴
，
同理
，
∴
，
当且仅当
即
即
时等号成立，
故四边形
的面积
的最小值
．
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