题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,底面四边形
为正方形,已知
平面
,
,
.
(1)证明:;
(2)求与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在一点
,使得平面
平面
?若存在,求
的值并证明,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
,理由见解析
【解析】
(1)如图,连接交
于点
,证明
平面
得到答案.
(2)如图建立空间直角坐标系,计算平面
的法向量为
,再利用向量夹角公式计算得到答案.
(3)存在,设,则
,则平面
的法向量为
,利用向量垂直计算得到答案.
(1)如图,连接交
于点
,由于
平面
,
平面
所以,即
由于,
,
,所以
平面
又因为平面
,因此
(2)由于平面
,
平面
,
平面
,
所以,
又
,所以
,
,
两两垂直,
因比,如图建立空间直角坐标系
,
,
,
因此,
,
设平面的法向量为
,则
即
取,
,
,则
设直线与平面
所成角为
,
(3)存在,设,则
则,
设平面的法向量为
,则
,
即,即
,
,
则,若平面
平面
,则
即,则
因此在棱上存在点
,使得平面
平面
,
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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