题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),将曲线
上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线
,在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设点为曲线
上的任意一点,求点
到直线
的距离的最大值.
【答案】(1)曲线的极坐标方程为
,直线
的直角坐标方程
;(2)
.
【解析】
(1)由图象变换得到曲线的参数方程为
(
为参数),消去参数可得直角坐标方程
,再化为极坐标方程即可.由直线的极坐标方程并结合互化公式可得直线的直角坐标方程.(2)设
,根据点到直线的距离公式和三角函数的有关知识可得最大值.
(1)曲线的参数方程为
(
为参数),
根据图象变换可得曲线的参数方程为
(
为参数),
消去方程中的可得普通方程为
,
将代入上式得
.
所以曲线的极坐标方程
.
直线的极坐标方程为
,即
,
将代入上式,得
,
所以直线的直角坐标方程为
.
(2)设 为曲线
上的任意一点,
则点到直线
的距离
,
∴当时,
有最大值
,
∴点到直线
的距离的最大值为
.
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