题目内容
3.设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1,}&{x<1}\\{{2}^{x},}&{x≥1}\end{array}\right.$,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A. | [$\frac{2}{3}$,1] | B. | [0,1] | C. | [$\frac{2}{3}$,+∞) | D. | [1,+∞) |
分析 令f(a)=t,则f(t)=2t,讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.
解答 解:令f(a)=t,
则f(t)=2t,
当t<1时,3t-1=2t,
由g(t)=3t-1-2t的导数为g′(t)=3-2tln2,
在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(-∞,1)递增,
即有g(t)<g(1)=0,
则方程3t-1=2t无解;
当t≥1时,2t=2t成立,
由f(a)≥1,即3a-1≥1,解得a≥$\frac{2}{3}$,且a<1;
或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.
综上可得a的范围是a≥$\frac{2}{3}$.
故选C.
点评 本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
练习册系列答案
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18.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}$=( )
A. | -$\frac{3}{2}$a2 | B. | -$\frac{3}{4}$a2 | C. | $\frac{3}{4}$a2 | D. | $\frac{3}{2}$a2 |
8.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A. | y=cos(2x+$\frac{π}{2}$) | B. | y=sin(2x+$\frac{π}{2}$) | C. | y=sin2x+cos2x | D. | y=sinx+cosx |