题目内容
12.设函数f(x)=-x2-2x,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x},x>0}\\{x+1,x≤0}\end{array}\right.$,h(x)=g[f(x)],求函数h(x)的单调递增区间.分析 根据已知中函数f(x),g(x)的解析式,结合h(x)=g[f(x)]先求出函数h(x)的解析式,进而根据复合函数单调性:“同增异减”的原则,得到答案.
解答 解:令-x2-2x=0得,x=0,或x=-2;
∴当x≤-2,或x≥0时,f(x)≤0,
当-2<x<0时,f(x)>0;
∴$h(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x)+\frac{1}{4f(x)},&-2<x<0\\-{x}^{2}-2x+1&,x≤-2,或x≥0\end{array}\right.$;
(1)当x≤-2时,函数h(x)为减函数;
(2)当-2<x<0时,令f(x)=t,0<t<1,
设y=h(x),则:$y=t+\frac{1}{4t}$,0<t<1,$y′=\frac{4{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$;
∴$t∈(0,\frac{1}{2})$时,y′<0,$y=t+\frac{1}{4t}$为减函数,t∈($\frac{1}{2},1$)时,y′>0,$y=t+\frac{1}{4t}$为增函数;
令f(x)=-x2-2x=$\frac{1}{2}$,则x=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵当-2<x<-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,f(x)为增函数,g(x)为减函数,故h(x)为减函数;
当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x<-1时,f(x)为增函数,g(x)为增函数,故h(x)为增函数;
当-1<x<-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,f(x)为减函数,g(x)为增函数,故h(x)为减函数;
当-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x<0时,f(x)为减函数,g(x)为减函数,故h(x)为增函数;
(3)当x≥0时,h(x)为增函数;
综上所述,函数h(x)的单调递增区间为[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-1],[-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$,+∞).
点评 本题考查的知识点是分段函数的应用,复合函数的单调性,难度中档.
A. | $-\frac{5}{12}$ | B. | $\frac{5}{12}$ | C. | $-\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. | (1) | B. | (2)(3) | C. | (2)(4) | D. | (2)(3)(4) |
A. | (-∞,-1]∪[1,+∞) | B. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | C. | (-1,1) | D. | [-1,1] |