Question

11．给出下列四个命题．
①命题p：对任意x∈R，sinx≤1的否定￢p：存在x∈R，sinx＞1；
②“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；
③若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$都是非零向量，则“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$”是“$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）”的必要不充分条件；
④命题“若一个整数能被6整除，则它能被3整除”的否命题是假命题．其中真命题的序号是①．（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①对于任意命题的否定，应把任意改为存在，在把结论否定；
②利用倍角公式可得y=cos²kx-sin²kx=cos2kx，最小正周期为π，可得k=±1；
③前者能推出后者，但后者不能推出前者；
④根据命题的逆命题和否命题为等价命题，可先判断其逆命题的真假．

解答 解：①对于任意命题的否定，应把任意改为存在，在把结论否定，故正确；
②y=cos²kx-sin²kx
=cos2kx，
最小正周期为π，可得k=±1，故错误；
③若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$都是非零向量，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{a}$=-（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），故$\overrightarrow{a}$是（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）的反向量，
$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）推不出$\overrightarrow{a}$是（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）的反向量，故应是充分不必要条件，故错误；
④命题“若一个整数能被6整除，则它能被3整除”的逆命题为若一个整数能被3整除，则它能被6整除，显然为假命题，故其逆命题也为假命题，故错误．
故答案为①．

点评 考查了四中命题，倍角公式，对任意命题的否定．属于基础题型，应熟练掌握．