Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象上的一个最高点为M（$\frac{π}{12}$，3），最低点为N（$\frac{7π}{12}$，-1），且与x轴的一个交点为P（$\frac{5π}{12}$，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x），x∈（0，$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据已知，求出A，B，ω，φ的值，可得f（x）的解析式；
（2）由2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，可得f（x）的单调增区间；
（3）求出x∈（0，$\frac{π}{6}$）时，相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象上的一个最高点为M（$\frac{π}{12}$，3），最低点为N（$\frac{7π}{12}$，-1），且与x轴的一个交点为P（$\frac{5π}{12}$，0）．
∴2A=3-（-1）=4，故A=2；
2B=3+（-1）=2，故B=1；
$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$，故T=π，ω=2，
故f（x）=2sin（2x+φ）+1，
又∵函数f（x）的图象与x轴的一个交点为P（$\frac{5π}{12}$，0）．
故2sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=-1，即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=-$\frac{1}{2}$，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
故$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{7π}{6}$，即φ=$\frac{π}{3}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1；
（2）由2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z，
（3）当x∈（0，$\frac{π}{6}$）时，2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$时，f（x）=$\sqrt{3}$+1，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）=3，
故x∈（0，$\frac{π}{6}$）函数的值域为（$\sqrt{3}$+1，3]

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．