题目内容

1．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F1，F2，若C上存在点P，使得|PF1|=k|PF2|（k＞1），则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）
A．（k，$\frac{k+1}{k-1}$]B．（1，$\frac{k+1}{k-1}$]C．（1，k]D．[k，+∞）

分析 先根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a进而根据|PF2|=k|PF1|，求得|PF1|=$\frac{2a}{k-1}$，|PF2|=$\frac{2ka}{k-1}$，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当P为双曲线顶点时，e=$\frac{k+1}{k-1}$且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．

解答 解：根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a，即k|PF1|-|PF1|=2a．
∴|PF1|=$\frac{2a}{k-1}$．|PF2|=$\frac{2ka}{k-1}$
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜$\frac{2a（k+1）}{k-1}$，
∴e＜$\frac{k+1}{k-1}$，
当p为双曲线顶点时，e=$\frac{k+1}{k-1}$
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤$\frac{k+1}{k-1}$
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案．

练习册系列答案
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11．给出下列四个命题．
①命题p：对任意x∈R，sinx≤1的否定￢p：存在x∈R，sinx＞1；
②“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
③若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$都是非零向量，则“$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$”是“$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）”的必要不充分条件；
④命题“若一个整数能被6整除，则它能被3整除”的否命题是假命题．其中真命题的序号是①．（写出所有正确命题的序号）．
12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
9．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0（其中O为坐标原点），则△ABO与△BFO面积之差的最小值是（　　）
A．4B．8C．8$\sqrt{3}$D．16$\sqrt{3}$
16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，长轴两个顶点分别为A，B．若C上有一点P，使得∠APB=120°，则离心率e的范围为$[\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．
6．△ABC满足BA=BC=3$\sqrt{2}$，∠ABC=120°，D在AC上，且∠DBC=30°，若$\overrightarrow{BD}$=λ1$\overrightarrow{BC}$+λ2$\overrightarrow{BA}$，求λ1+2λ2．
13．抛物线y=x2-x-6与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0）．
10．已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），证明$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$．
11．已知数列{an}．a1=1，an=an-1+2（n≥2）．则数列前100项和等于10000．

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