Question

【题目】已知△ABC中,B（-1，0）,C（1，0）,AB=6,点P在AB上,且∠BAC=∠PCA．

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)若,过点C的直线与E交于M，N两点,与直线x=9交于点K,记QM,QN,QK的斜率分别为k1,k2,k3,试探究k1,k2,k3的关系,并证明．

Answer 1

【答案】(1)．(2) k1+k2=2k3证明见解析；

【解析】

(1)利用已知条件判断P的轨迹为椭圆,转化求解即可．

(2)如图,设M（x1，y1）,N（x2，y2）,可设直线MN方程为y=k（x-1）,则K（4，3k）,联立直线与椭圆方程,通过韦达定理转化求解斜率关系,证明k1+k2=2k3．

解：(1)如图三角形ACP中,∠BAC=∠PCA,所以PA=PC,

所以PB+PC=PB+PA=AB=6,

所以点P的轨迹是以B,C为焦点,长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），

所以点P的轨迹E的方程为．

(2)k1,k2,k3的关系：k1+k2=2k3．

证明：如图,设M（x1，y1）,N（x2，y2），

可设直线MN方程为y=k（x-1）,则K（4，3k）,

由可得（9k2+8）x2-18k2x+（9k2-72）=0,

,,

,

,,

因为,

所以：k1+k2=2k3．