Question

【题目】在如图所示的几何体中，，为全等的正三角形，且平面平面，平面平面，．

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）分别取的中点，连接，由题中的面面垂直可得平面，平面，从而得四边形为平行四边形，进而可得证；

（2）点到平面的距离与三棱锥的高相等，进而由等体积计算即可得距离.

（1）证明：分别取的中点，连接

因为为正三角形，

所以，，

因为平面平面，平面平面，

且平面平面，

平面平面，

所以平面，平面，

所以，

所以，为全等的正三角形，

所以，

故四边形为平行四边形，

所以，

因为，

所以.

（2）解：记点到平面的距离为，由图可知点到平面的距离与三棱锥的高相等，

而三棱锥的体积与三棱锥的体积相同.

因为，

所以，的边长为，，

，

所以三棱锥的体积

在梯形中，，，

所以梯形的高为，

所以的面积，

于是由等体积法，可得，

所以，

所以，

故点到平面的距离为.