Question

【题目】在数列中，若且则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）证明：中总有一项为或.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据递推公式列出数列中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;

（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;

（3）首先证明：一定存在某个，使得成立，再进行检验即可得到答案.

（1）当时，中的各项依次为，

即数列从第四项开始每三项是一个周期，

所以，，

，

所以.

（2）① 若是奇数，则是偶数，，

由，得，解得，适合题意.

② 若是偶数，不妨设，则.

若是偶数，则，由，

得，此方程无整数解；

若是奇数，则，由，

得，此方程无整数解.

综上，.

（3）首先证明：一定存在某个，使得成立.

否则，对每一个，都有，

则在为奇数时，必有；

在为偶数时，有，或.

因此，若对每一个，都有，则单调递减，

注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，

所以必定存在某个，使得成立.

经检验，当，或，或时，中出现；

当时，中出现，

综上，中总有一项为或.