题目内容
【题目】设定义在区间上的函数
的图象为
,
、
,且
为图象
上的任意一点,
为坐标原点,当实数
满足
时,记向量
,若
恒成立,则称函数
在区间
上可在标准
下线性近似,其中
是一个确定的正数.
(1)设函数在区间
上可在标准
下线性近似,求
的取值范围;
(2)已知函数的反函数为
,函数
,(
),点
、
,记直线
的斜率为
,若
,问:是否存在
,使
成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)利用标准下线性近似的定义得到恒成立问题,结合题意求解
的取值范围即可;
(2)利用题意构造函数 ,结合函数零点存在定理证得
是存在的,然后结合导函数与原函数的关系求解取值范围即可.
试题解析:
(1)由与
,
得和
的横坐标相同。
对于区间上的函数
,
,
则有
,再由
恒成立,可得
.故k的取值范围为
(2)由题意知, 令
.则
令 .则
当t<0时, ,
单调递减;当t>0时,
,
单调递增.
故当t≠0时, 0,即
,
从而
所以.
由零点存在性定理可得:存在,使得
又 ,所以
单调递增,故存在唯一的
,使得
.
由.故当且仅当
时,
综上所述,存在,使
成立,且
的取值范围为
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练习册系列答案
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年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
储蓄存款y(千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理, 得到下表2:
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?
(附:对于线性回归方程,其中
)