题目内容
【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数)
(1)设过点的直线
与曲线
相切于点
,求
的值;
(2)函数的的导函数为
,若
在
上恰有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件导数的几何意义分析求解;(2)先对函数令求导,再运用导数与函数的单调性之间的关系判断单调性,然后求出最小值,建立不等式进行分析求解:
(1)因为函数,所以
,
故直线的斜率为
,
点的切线
的方程为
,
因直线过,
所以,
即
解之得,
(2)令,
所以,
设,
则,
因为函数在
上单增,
若在
上恰有两个零点,
则在
有一个零点
,
所以,
∴在
上递减,在
上递增,
所以在
上有最小值
,
因为(
),
设(
),则
,
令,得
,
当时,
,
递增,
当时,
,
递减,
所以,
∴恒成立,
若有两个零点,则有
,
,
,
由,
,得
,
综上,实数的取值范围是
.
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