题目内容
已知函数
且
(Ⅰ)试用含
的代数式表示
;
(Ⅱ)求
的单调区间;
(Ⅲ)令
,设函数
在
处取得极值,记点
,证明:线段
与曲线
存在异于
、
的公共点;


(Ⅰ)试用含


(Ⅱ)求

(Ⅲ)令








(Ⅰ)
;(Ⅱ)当
时,函数
的单调增区间为
和
,单调减区间为
;当
时,函数
的单调增区间为R;当
时,函数
的单调增区间为
和
,单调减区间为
(Ⅲ)易得
,而
的图像在
内是一条连续不断的曲线,
故
在
内存在零点
,这表明线段
与曲线
有异于
的公共点













(Ⅲ)易得



故






试题分析:解法一:(Ⅰ)依题意,得

由


(Ⅱ)由(Ⅰ)得

故

令



①当


当



![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | + | — | + |
![]() | 单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |




②由






③当






综上:
当





当


当





(Ⅲ)当


由


由(Ⅱ)得




所以函数


故

所以直线


由


令

易得



故






解法二:
(Ⅲ)当




由(Ⅱ)得






故

所以直线


由


解得


所以线段




点评:本题是在知识的交汇点处命题,将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查,重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识.导数题目是高考的必考题,且常考常新,但是无论如何少不了对基础知识的考查,因此备考中要强化基础题的训练.

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