Question

设向量

a

与

b

的夹角为120°，且满足|

a

|=|

b

|=1，则|

a

+t

b

|（t∈R）的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：由题意，可先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，将|

a

+t

b

|²展开，代入题设条件，

a

，

b

两向量的夹角为120°，模都是1，则可得|

a

+t

b

|²=t²-t+1，由于t∈R，求此二次函数的最小值即可得到|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，再求其算术平方根，即可得到|

a

+t

b

|的最小值，得到正确答案

解答：解：由题意，可先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值
由于|

a

+t

b

|²=

a

2+t2 

b

2+2t

a

•

b

又由题意，

a

，

b

两向量的夹角为120°，模都是1
∴|

a

+t

b

|²=t²-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

，t∈R
∴当t=

1

2

时，|

a

+t

b

|²取到最小值

3

4

∴|

a

+t

b

|的最小值是

3

2

故答案为

3

2

点评：本题考查平面向量的模的求法，向量数量积的运算，二次函数的最值，涉及到的知识点较多，解题的关键是理解题意，确定解题的方向为先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，向量求模常采用的技巧就是求模的平方．本题通过二次函数求最值，用到了函数的思想，这是最值问题常用的转化方向