Question

在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴的右侧，且与轴相切，
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的离心率为，且左右焦点为，试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），圆上存在4个点，使得为直角三角形．

试题分析：（Ⅰ）求圆的方程，只要求出圆心与半径即可，而已知圆的半径为，圆心在轴上，圆位于轴的右侧，且与轴相切，故圆心为，从而可得圆的方程；（Ⅱ）探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形，首先求出的坐标，而是椭圆的左右焦点，须求出椭圆的方程，由题意椭圆的离心率为，，可求得，，可得，为直角三角形，有圆的方程可知，只需过作轴的垂线，与圆的两个交点符合题意，过可作圆的两条切线，与圆的两个切点也符合，从而找到点．
试题解析：（Ⅰ）依题意，设圆的方程为（x-a）²+y²=16(a>0)． （1分）
∵圆与y轴相切，∴a=4，∴圆的方程为(x-4)²+y²=16  （4分）
（Ⅱ）∵椭圆=1的离心率为，∴e===
解得b²=9            （6分）
∴c==4，∴F₁(-4,0),F₂(4,0)     （7分）
∴F₂(4,0)恰为圆心C        （8分）
（i）过作轴的垂线，交圆P₁,P₂，则∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，符合题意；（10分）
（ii）过F₁可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P₃,P₄，
连接CP₃,CP₄，则∠F₁P₃F₂=∠F₁P₄F₂=90°，符合题意．   （12分）
综上，圆C上存在4个点P，使得△PF₁F₂为直角三角形．   （13分）