Question

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）圆C的标准方程为：(x-1)²+y²=4；（Ⅱ）不存在这样的直线l．

试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x₁、x₂之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.
试题解析：（I）设圆C：(x-a)²+y²=R²(a>0)，由题意知
 解得a=1或a=，                  3分
又∵S=πR²<13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：(x-1)²+y²=4．                  6分
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立消去y得：(1+k²)x²+(6k-2)x+6=0，        9分
∴Δ=(6k-2)²-24(1+k²)=36k²-6k-5>0，
解得或．
x₁+x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+x₂)+6=，
，，
假设∥，则，
∴，
解得，假设不成立．
∴不存在这样的直线l．                   13分