题目内容
【题目】已知定义在上的函数
且不恒为零,对
满足
,且
在
上单调递增.
(1)求,
的值,并判断函数
的奇偶性;
(2)求的解集.
【答案】(1);
;奇函数
(2)
【解析】
(1)令,求得
或
;令
,
,又求得
(舍去),可求得
,
;令
,
,得
,再令
,得
即可证得
为奇函数.
(2)首先令,求得
,再有(1)可得
的周期为
且
,结合函数在
的图像得
即可求解.
(1)由对于任意,
满足
,令
,
则,所以
或
;
令,
,则
,上一步若
,代入可得
,
令,
,因为
在
上单调递增,所以
所以,
.
综上所述:;
令,则
令,
,则
因为,
,所以
代入式得
,
显然不等于
,所以
,
所以为奇函数.
(2)由(1)可得
即函数的最小正周期为
.
令,则
,所以
,
由(1)可得,
根据函数在的图像以及函数的周期性, 观察得
若,则
解得
故不等式的解集为
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