题目内容
【题目】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE面ABC，所以AE⊥BB1
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C
∴AE⊥B1C
解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．
设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，
可得A1E1=AE=
，A1C=2，E1C1=EC=
BC=
∴E1C=
=
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C=
=
所以异面直线AE与A1C所成的角为．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=1，AP=1，PQ=
，得tan∠PQE=
=
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
