Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DA，E、F分别为PA、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求证：DE⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据中位线定理可得EF∥AC，结合线面平行的判定定理，可得EF∥平面ABCD；
（2）先结合已知证明平面PAD⊥平面PAB，再由面面垂直的性质定理可得DE⊥平面PAB．

解答 证明：（1）连接AC，如图所示：

∵E、F分别为PA、PC的中点．
∴EF∥AC，
又∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD；
（2）∵底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AB，AD⊥AB，
又∵PD∩AD=D，PD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
∵PD=DA，E为PA的中点．
∴DE⊥PA，
∵平面PAD∩平面PAB=PA，
∴DE⊥平面PAB．

点评 本题考查的知识点是线面平行的判定，线面垂直，面面垂直与线线垂直的相互转化，难度中档．