Question

9．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点 A（0，-l），且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx-1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于?k∈S，BC的中点恒定在一条定直线上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），y₁≠y₂BC的中点（x₀，y₀），直线y=kx-1且k≠0，恒过（0，-1），|AB|=|AC|，点B，C在椭圆上，化简可得y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{1}{3}$．BC的中点在y=kx-1上，解得x₀=$\frac{4}{3k}$，利用$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，可得x=$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，推出k的不等式，得到结果．

解答 解：（Ⅰ）由已知e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即c²=$\frac{3}{4}$a²，b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点 A（0，-l），∴a=2，b=1，∴a²=4，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）椭圆M上存在点B，C关于直线y=kx-1对称，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），y₁≠y₂
BC的中点（x₀，y₀），直线y=kx-1且k≠0，恒过（0，-1），|AB|=|AC|，
则x₁²+（y₁+1）²=x₂²+（y₂+1）²，
点B，C在椭圆上，
∴x₁²=4-4y₁²，x₂²=4-4y₂²，∴4-4y₁²+（y₁+1）²=4-4y₂²+（y₂+1）²，
化简可得：3y₁²-3y₂²=2（y₁-y₂）．∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{1}{3}$．
又因为BC的中点在y=kx-1上，所以y₀=kx₀-1，x₀=$\frac{4}{3k}$由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，可得x=$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$0＜\frac{4}{3k}＜\frac{4\sqrt{2}}{3}$，或$-\frac{4\sqrt{2}}{3}＜\frac{4}{3k}＜0$，即k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k的所有取值构成的集合S={k|k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$}．
所以对于?k∈S，BC的中点恒定在一条定直线y=$\frac{1}{3}$上．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，对称知识的应用，存在性 问题的处理方法，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．