设数列{an}的前n项和为Sn.a1=1.an=$\frac{{S} {n}}{n}$+2(n-1)(n∈N+)(1)求证:数列{an}为等差数列.并分别写出an和Sn关于n的表达式,(2)是否存在自然数n.使得S1+$\frac{{S} {2}}{2}$+$\frac{{S} {3}}{3}$+-+$\frac{{S} {n}}{n}$-(n-1)2=2013.若存在.求出n的值.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N⁺）
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2013，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

分析（1）通过a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）可知S_n=na_n-2n（n-1）、S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），通过将两式作差、整理可知a_n+1-a_n=4，进而可知数列{a_n}是以1为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过a_n=4n-3、a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1，从而数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，通过计算、化简可知S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2n-1，计算即得结论．

解答（1）证明：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），
∴S_n=na_n-2n（n-1），
S_n+1=（n+1）a_n+1-2n（n+1），
两式相减得：a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
整理得：a_n+1-a_n=4，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、4为公差的等差数列，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3，
S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）；
（2）结论：存在自然数n=1007满足题设条件．
理由如下：
∵a_n=4n-3，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a_n-2（n-1）
=4n-3-2n+2
=2n-1，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-（n-1）²
=n²-（n-1）²
=2n-1，
令S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2013，
即2n-1=2013，解得：n=1007，
∴存在自然数n=1007满足题设条件．