Question

【题目】已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ ， 求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣），与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，
∴x1+x2=
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，
y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设=（x3 ， y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）
又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．
【解析】（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2= ， 再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．