Question

【题目】如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=a，AC= a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN= CA，求证：MN∥平面DEF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，

∴S△BCD= ．

∵AC= a，∴AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BCD，且交线为BC，AB平面ABC，

∴AB⊥平面BCD，

∴VD﹣ABC=VA﹣BCD= =

（2）证明：取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（3）解：当CN= CA时，连接CM，设CM∩DE=O，连接OF，

∵O为△BCD的垂心，∴CO= CM，

当CF= CN时，MN∥OF，OF平面DEF，MN平面DEF，

∴MN∥平面DEF．

【解析】（1）由已知可求面积S△BCD的值，利用勾股定理可求AB⊥BC，进而可求AB⊥平面BCD，即可计算得解三棱锥VD﹣ABC=VA﹣BCD的值．（2）取AC的中点H，要证明AC⊥平面DEF，可先证DE⊥AC，再证明EF⊥AC即可．（3）连接CM，设CM∩DE=O，连接OF，可求CO= CM，利用线面平行的判定定理即可证明．