题目内容
【题目】设函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数恰有两个零点，求
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）
，讨论a，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解
（1）因为
，其定义域为
，
所以
.
①当
时，令
，得
；令
，得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增.
②当
时，令，得或
；令，得
，
此时在，
上单调递减，在
上单调递增.
③当
时，
，此时在上单调递减.
④当
时，令，得
或；令，得
，
此时在
，上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可知：①当时，
.
易证
，所以
.
因为
，
，
.
所以恰有两个不同的零点，只需
，解得
.
②当时，
，不符合题意.
③当时，在上单调递减，不符合题意.
④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且
，又
，由于
，
，
所以
，函数最多只有1个零点，与题意不符.
综上可知，，即
的取值范围为
.
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