题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)求证:曲线在点
处的切线过定点;
(2)若是
在区间
上的极大值,但不是最大值,求实数
的取值范围;
(3)求证:对任意给定的正数 ,总存在
,使得
在
上为单调函数.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出切点坐标及切线方程,切线恒过定点即与参数无关,令系数为
,可得定点坐标;(2)
,要使
成为极大值,因此
,又
不是最大值,而
在
单增,
单减,
单增,因此
,可求得
的范围;(3)
在
单增,
单减,
单增,又
,所以要使
在
单调,只需
,即
,故存在.
试题解析:解:(1)证明:∵,∴
∵,∴曲线
在点
处的切线方程为
,
即,令
,则
,
故曲线在点
处的切线过定点
(2)解:,
令得
或
∵是
在区间
上的极大值,∴
,∴
令,得
或
递增;令
,得
递减,
∵不是
在区间
上的最大值,
∴在区间
上的最大值为
,
∴,∴
,又
,∴
(3)证明:,
∵,∴
令,得
或
递增;令
,得
递减,
∵,∴
若在
上为单调函数,则
,即
故对任意给定的正数,总存在
(其中
),使得
在
上为单调函数
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练习册系列答案
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