Question

【题目】已知定义在上的数满足，当时.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称，利用当时，画出函数y＝f（x）的大致图象．由题意转化为y＝k（x﹣2）+e﹣1与f（x）有三个交点，直线恒过定点（2，e﹣1），再根据数形结合法可得k的取值范围．

由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1．f′（x）＝xex．

①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，

在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．

又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．

∴函数y＝f（x）的大致图象如图所示：

关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．

而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，

当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．

∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．

实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．

故选：D．