Question

【题目】已知函数，其中为实数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；

（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】试题分析：由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论。

解析：（1）函数的定义域为，

，，可知.

.

当，即时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）函数

.

令，，

当时，可知，

故恒成立，

可知，在区间上为单调递增函数，

不妨设，且，

则变为，

即，

设函数

，

由，得在时为单调递减函数，即，

即，

也即对与恒成立.

因为，可知时，取最大值，

即 .

对时恒成立，

由，可知，

即取值范围为.