Question

4．四面体ABCD中，AD⊥BC，且AB+BD=AC+CD，则下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．
①由顶点D作四面体的高，其垂足为H，则AH为△ABC中BC边上的高；
②若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面；
③若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等；
④若M为AD上的动点，则均有MB=MC；
⑤AB=CD且BD=AC．

Answer 1

分析 ①过点D作DH⊥面ABC，由线面垂直的性质结合线面垂直的判定即可判断；
②过B在△ABD中作BO⊥AD，连接CO，运用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断②；
③运用空间中椭球的定义，类似平面上椭圆的定义，即可判断③；
④由直角三角形的勾股定理，结合③即可判断④；
⑤由④结合已知条件AB+BD=AC+CD，即可判断．

解答 解：①过点D作DH⊥面ABC，则DH⊥BC，
又AD⊥BC，则BC⊥面ADH，AH⊥BC，
∴AH为△ABC中BC边上的高，故①正确；
②过B在△ABD中作BO⊥AD，垂足为O，连接CO，
由于AD⊥BC，又AD⊥BO，
故AD⊥平面BCO，则AD⊥CO，
即CO为边AD上的高，
显然BO，CO相交，故②错；
③在三棱锥A-BCD中，AB+BD=AC+CD＞AD，
则B，C均在以A，D为焦点的椭球上，
由于AD垂直于平面BCO，则AD垂直于BC，
且B，C位于同一纬度，如图，故BO=CO，故③正确；
④在直角△MOB和直角△MOC中，BO=CO，MO=MO，
由勾股定理得，MB=MB，故④正确；
⑤在直角△ABO和直角△ACO中，BO=CO，
由勾股定理得，AB=AC，同理DB=DC，而AB+BD=AC+CD，
∴当AB≠BD时，AB≠CD且BD≠AC，故⑤错误．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，主要考查空间直线与平面的位置关系，考查平面几何中的全等知识和勾股定理及运用，考查空间中到两定点的距离之和为定值的轨迹为椭球，属于难题．