题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,分析
的单调性.
(2)若对,都有
恒成立,求
的取值范围;
(3)证明:对任意正整数
均成立,其中
为自然对数的底数.
【答案】(1)单调增区间为,无减区间;(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)直接对函数求导,利用导数研究其单调性即可;
(2)对求导后,再根据
的取值进行分情况讨论即可;
(3)题目可变形为证明不等式恒成立,又由(1)可得
在
恒成立,则令
,即有
,据此即可推出结论.
(1),
,
,
,
故在
上恒成立,
所以的单调增区间为
,无减区间.
(2).
∵,∴
,
故:①当时,
,
在
上单调递减,
而,∴
,不符合题意;
②当时,即
,
在
上单调递增,
而,∴符合题意;
③当时,
,
,
在
上单调递减,
而,∴此时
,不符合题意;
综上所述,的取值范围为
.
(3)证明:要证明,
等价于证明,
由(1)可得在
恒成立,
令,
,则
,
∴,
∴
∴成立,
∴成立.
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