Question

【题目】设函数，.

（1）当时，求的值域；

（2）当时，不等式恒成立（是的导函数），求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求导，令，求出极值点，利用导数求出函数的单调性，即可得出内的最值，即可得出值域；

（2）根据题意，构造新函数，将不等式的恒成立问题，转化为在内的恒成立问题，求导，再二次求导，通过单调性求出最值，即可求出参数的取值范围.

（1）由题可得.

令，得.

当时，，当时，，

所以，

.

因为，所以，

所以的值域为.

（2）由得，

即.

设，则.

设，则.

当时，，，所以.

所以即在上单调递增，则.

若，则，所以在上单调递增.

所以恒成立，符合题意.

若，则，必存在正实数，

满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.