题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一点，且满足
.
（1）求
、
的值；
（2）设
、
是抛物线上不与
重合的两个动点，记直线
、
与的准线的交点分别为
、
，若
，问直线
是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.
【答案】（1）
，
；（2）过定点，且定点的坐标为
.
【解析】
（1）将点
的坐标代入抛物线的方程结合抛物线的定义可得出关于
、
的方程组，解出即可；
（2）设直线
方程为
，
、
，求出直线
、
的方程，解出点
、
的坐标，利用
，得
，结合韦达定理，求出
，再求出定点坐标．
（1）由题意得抛物线的准线方程
，则
，
由题意得
，解得
；
（2）由（1）得抛物线的焦点
，
，
显然直线的斜率不为零，设直线方程为，、，
联立
，消去
得
，
由韦达定理得
，
.
直线的斜率
，
故直线的方程为
，
令
，得
，故的坐标为
，
同理的坐标为
，
，
，
，
，
所以，
，
，所以，直线的方程为
，过定点.
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世纪百通期末金卷系列答案
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