Question

12．设实数x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+4≥0}\\{x+y-4≤0}\\{x+ay-4≤0}\end{array}\right.$，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是-5，则实数a的值为（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． -$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，作出直线2x+y=8和2x+y=-5，得到直线x+ay-4=0经过点A，B，进行求解即可取出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
∵z=2x+y的最大值是8，最小值是-5，
∴作出直线2x+y=8，则目标函数与直线x+y-4=0交于A，
作出直线2x+y=-5，则目标函数与直线3x-2y+4=0交于B，
则直线x+ay-4=0经过点A，B，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=-5}\\{3x-2y+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-2，-1），
代入直线x+ay-4=0，
得-2-a-4=0．
解得a=-6．
即AB：x-6-4=0，
由图象进行检验可得，满足条件，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．