Question

19．t＞0，关于x的方程|x|+$\sqrt{t-{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$的解为集合A，则A中元素个数可能为0，2，3，4（写出所有可能）．

Answer 1

分析 化方程为$\sqrt{t-{x}^{2}}=\sqrt{2}-|x|$，得到两个函数所对应的图象，画出图象，数形结合得答案．

解答 解：由|x|+$\sqrt{t-{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$，得
$\sqrt{t-{x}^{2}}=\sqrt{2}-|x|$，
由y=$\sqrt{t-{x}^{2}}$，得x²+y²=t（y≥0），
又$y=\sqrt{2}-|x|=\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{2}，x≥0}\\{x+\sqrt{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
作出图象如图：
由图可知，当0＜t＜1或t$＞\sqrt{2}$时，A中元素个数为0；
当t=1时，A中元素个数为2；
当t=$\sqrt{2}$时，A中元素个数为3；
当1＜t＜$\sqrt{2}$时，A中元素个数为4．
故答案为：0，2，3，4．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合与分类讨论的数学思想方法，是中档题．