Question

6．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则$\frac{λ}{μ}$的值为（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$，
$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$
=$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+（$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$；
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{9}{2}$=3．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目．